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布尔值的模型

来源:未知 作者:澳门新葡亰官网app 时间:2019-11-13 01:46

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  给定一个完全布尔代数B,有一个指示为V的布尔值模型,它是冯·诺伊曼全集V的布尔取值的类似者。(严格的说,V是真类,所以我们需要适当的重新解释对于模型意味着什么)。非形式的说,我们认为V是象“布尔值集合”的某种东西;换句话说,布尔值集合,不再有定义分明的元素和非元素,而有带有是这个集合的元素的特定“可能性”的对象。这个“可能性”是B的一个元素,不是实数。这不同于模糊集合的概念。

  布尔值集合的(“可能的”)元素,依次也是布尔值集合,它的元素也是布尔值集合,以此类推。要得到布尔值集合的非循环定义,我们需要有层次的建造它们。所以对于V的每个序数 α 我们定义集合Vα为:

  Vα是 βα 的Vβ的并集,如果 α 是极限序数(包括 0)。Vα+1是从Vα到B的所有函数的集合。(这种函数表示Vα的“可能的”子集;如果f是这种函数,则对于任何x∈Vα,f(x) 是x在这个集合中的可能性)。 我们定义类V是所有集合Vα的并集。

  有可能相对化这个完整构造于ZF(或者有时它的片段)的某个传递模型M。在这种情况下我们通过应用上述构造于M内部而构造布尔值模型M。对传递模型的限制是不严重的,因为Mostowski塌陷引理蕴涵了所有合理的(良基的外延)模型同构于传递模型。(如果模型M不是传递事物而使其变得更加杂乱,因为M对什么意味着是“函数”或“集合”的释义可能不同于“外延”释义)。

  接着我们需要在集合V上定义两个B-值的等于关系和成员关系。(在V上的B-值关系是从V×V到B的函数)。为了避免混淆于通常的等式和成员关系,对于在V中的x和y,它们指示为 x=y 和 x∈y。它们定义如下:

  最后我们需要检查在V上的这两个B-值的关系 ∈ 和 = 使V成为集合论的布尔值模型。没有自由变量的每个一阶集合论的句子都在B中有一个值,我们需要检查等式的所有公理和 ZF 集合论的所有公理(没有自由变量的)有B的元素“真”的值。这是直截了当的,但是要花很长时间因为有很多不同的公理需要检查。

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